作者簡介：呂林儒，鎮(zhèn)平雪楓中學(xué)優(yōu)秀青年教師，教科研先進(jìn)工作者，具有敏銳的問題意識(shí)，善于抓住教學(xué)工作中出現(xiàn)的小問題、小現(xiàn)象進(jìn)行研究，工作踏實(shí)，認(rèn)真。

執(zhí)教格言：教人求真，學(xué)做真人。

一題多解與一題多變?cè)诟咧袛?shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

呂林儒

摘要：高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系龐大，數(shù)學(xué)公式眾多，數(shù)學(xué)題目更是種類繁多.一題多解和一題多變的教學(xué)方法能夠讓學(xué)生在高中數(shù)學(xué)中發(fā)散數(shù)學(xué)思維 ，掌握解題規(guī)律．從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中舉一反三的方法，提高學(xué)習(xí)的成效．

關(guān)鍵詞 ：一題多解；一題多變；數(shù)學(xué)教學(xué)

一、研究背景及學(xué)生現(xiàn)狀:

數(shù)學(xué)是高中學(xué)習(xí)的重要學(xué)科。高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度比小學(xué)和初中大為提高，所涉及的理論知識(shí)和數(shù)學(xué)定理更為深刻。對(duì)于雪楓中學(xué)的高中生來說,要學(xué)好數(shù)學(xué)學(xué)科,卻不是一件容易的事.在生源流失嚴(yán)重的鎮(zhèn)平縣城里，這所因雪楓將軍而命名的公立高中在中招考試中僅僅只能招收到縣排名3000之外的學(xué)生，這意味著我校招收的新生大多數(shù)基礎(chǔ)薄弱，學(xué)習(xí)習(xí)慣相對(duì)較差，不會(huì)自我科學(xué)地安排時(shí)間，缺乏自學(xué)能力。在數(shù)學(xué)學(xué)科上體現(xiàn)的尤為明顯，在我所帶班級(jí)里，大多數(shù)學(xué)生在面對(duì)已講授過的同類型題目時(shí)仍然一籌莫展，在遇到需要計(jì)算的題目時(shí)，學(xué)生的答案更是五花八門。

相對(duì)于初中數(shù)學(xué)來說，高中對(duì)數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用要求比較高。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中要突出四大能力，即運(yùn)算能力，空間想象能力，邏輯推理能力和分 析問題解決問題的能力。要滲透四大數(shù)學(xué)思想方法，即數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程，等價(jià)與變換、劃分與討論。因此，大多數(shù)雪楓中學(xué)的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的印象就是枯燥、乏味和困難.但由于高考“指揮棒”的作用,又不得不學(xué)?！霸鯓硬拍軐W(xué)好數(shù)學(xué)”成了學(xué)生問得最多的問題.而怎樣回答這個(gè)問題便成了我們急需解決的難題。

從本校數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀來看，“教師教，學(xué)生學(xué)”仍是主導(dǎo)模式。基術(shù)上是“把學(xué)習(xí)當(dāng)作消極、被動(dòng)地接受知識(shí)的容器。“題?！睉?zhàn)術(shù)“淹沒”了生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維過程，這種重復(fù)低效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)使數(shù)學(xué)越來越枯燥,讓本來就基礎(chǔ)薄弱的雪中學(xué)子越來越厭煩,使相當(dāng)一部分學(xué)生“喪失”了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。思維變的狹窄，學(xué)知識(shí)只知其一，不知其二，稍有變化，就不知所云。這些促使我們思考：如何提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣？如何提高數(shù)學(xué)課堂的有效性？如何提高學(xué)生的解題效率？高考數(shù)學(xué)題“源于書本,又高于書本”,這是歷年高考試卷命制的原則,我們需要結(jié)合學(xué)校乃至班級(jí)學(xué)生的實(shí)際情況從書本基礎(chǔ)入手，利用書本上的例題和習(xí)題來反復(fù)進(jìn)行的一題多解和一題多變的訓(xùn)練可以幫助學(xué)生克服思維狹窄性的有效方法，有助于拓寬解題思路,發(fā)展學(xué)生的思維能力,提高學(xué)生分析問題的能力，提高數(shù)學(xué)課堂上的解題效率，從而提高學(xué)生的應(yīng)變能力和綜合素質(zhì)。所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)用“一題多變”法對(duì)教學(xué)質(zhì)量的提高具有重要意義 。

二 、一題多解與一題多變?cè)趯?shí)際教學(xué)中的應(yīng)用

1、何為一題多解與一題多變

隨著新課程的改革，考試對(duì)學(xué)生的要求越來越高。以目前雪楓學(xué)生的基礎(chǔ)而言，如果按照考綱要求對(duì)他們灌輸知識(shí)的話，可能會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的消化不良。但如果僅僅講授基礎(chǔ)知識(shí)的話又遠(yuǎn)達(dá)不到考綱的要求，我們應(yīng)該如何解決這個(gè)困境呢？目前來說，較好的解決辦法是盡量多講授基礎(chǔ)知識(shí)，并在講授基礎(chǔ)知識(shí)的過程中應(yīng)用“一題多解”與“一題多變”的教學(xué)方法。

一題多解就是單個(gè)數(shù)學(xué)題具備多種解題思路和解題方法．一題多變主要是題目多變但其解題的核心是不變的.具體就是在教學(xué)過程中對(duì)一道數(shù)學(xué)題進(jìn)行分析時(shí)通過對(duì)題目條件進(jìn)行改變，對(duì)題目情境進(jìn)行改變等方式，促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)理解能力、知識(shí)掌握程度和知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用能力得到有效提升，進(jìn)而使學(xué)生在分析題目時(shí)能夠從多角度、多方向、多層次進(jìn)行思考，提高數(shù)學(xué)問題的分析、思考和解決能力。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無論是一題多解還是一題多變，需要學(xué)生學(xué)會(huì)將題目轉(zhuǎn)變?yōu)樽约耗軌蚶斫獾臄?shù)學(xué)語言，從中找到解題切人點(diǎn).大多數(shù)學(xué)生都比較害怕一題多變，題目變化后往往產(chǎn)生迷惑,找不對(duì)思路也找不到解題的方法．但一題多變終究是萬變不離其宗,只要基礎(chǔ)知識(shí)牢固，善于思考，熟練各種公式的運(yùn)用，就能夠迅速掌握題目變化的規(guī)律，找出解題的方法．

2、一題多解與一題多變?cè)趯?shí)際教學(xué)中的應(yīng)用舉例

（1）數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)無論是知識(shí)內(nèi)容還是方法技巧，其蘊(yùn)含的知識(shí)量都是相當(dāng)大,所涉及的數(shù)學(xué)公式定理數(shù)量也很多.如果讓學(xué)生純粹記公式,而不去理解公式,也不了解公式的來源和推導(dǎo)那么學(xué)生很難掌握數(shù)學(xué)公式 ，更不知如何應(yīng)用.公式的推導(dǎo)過程就是一種解題的方法,或是一種解題技巧.我們?nèi)绻诠降耐茖?dǎo)過程中運(yùn)用一題多解的話,就會(huì)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的產(chǎn)生過程中同時(shí)掌握解題的規(guī)律和方法, 也便于公式的理解記憶.這樣的話,學(xué)生對(duì)這個(gè)公式的產(chǎn)生過程印象就更深刻,對(duì)公式也就更難忘.另外,在記憶公式的同時(shí),也學(xué)到了重要的數(shù)學(xué)方法和思路,更有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

等差數(shù)列求和公式為an=a1 (n-1)d ，這一公式如何得來 ，需要學(xué)生去探究那就不免要進(jìn)行推導(dǎo)公式．

（2）一題多解和一題多變?cè)诮忸}中的應(yīng)用

在教學(xué)中，解題講解包括例題講解和一般題目的講解．例題一般都具備典型性和代表性．也就是說,很多數(shù)學(xué)題都是與例題有一定的相關(guān)性.因而在數(shù)學(xué)題目講評(píng)過程中，如何講、如何教，讓學(xué)生熟練掌握例題的解法 ，對(duì)學(xué)生有較好的啟迪．一題多解和一題多變?cè)跀?shù)學(xué)例題的講解中，如果應(yīng)用得當(dāng)，學(xué)生在教師引導(dǎo)下發(fā)散思維 ，很快就可以掌握解題的基本思路.而且用一題多變的方法教學(xué)，讓學(xué)生從題變中掌握規(guī)律，減輕面對(duì)題目變化的壓力，消除迷惑迅速找到解題思路．

這樣一個(gè)由特殊性逐步一般化的思維過程,加強(qiáng)了學(xué)生思維能力的培養(yǎng),通過一系列的一題多解和一題多變,培養(yǎng)了學(xué)生的綜合分析能力,提高了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力,滲透了一些數(shù)學(xué)方法,體現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)思想,也提供了一個(gè)推向一般性的結(jié)論.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,若將經(jīng)典例題充分挖掘,注重對(duì)例題進(jìn)行變式教學(xué),不但可以抓好基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn),還可以激發(fā)學(xué)生的探求欲望,提高創(chuàng)新能力;不僅能讓教師對(duì)例題的研究更加深入,對(duì)教學(xué)目標(biāo)和要求的把握更加準(zhǔn)確,同時(shí)也讓學(xué)生的數(shù)學(xué) 思維能力得到進(jìn)一步提高,并逐漸體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

下面舉一例對(duì)一題多解進(jìn)行說明：

評(píng)注：函數(shù)思想是中學(xué)階段基本的數(shù)學(xué)思想之一，揭示了一種變量之間的聯(lián)系，往往用函數(shù)觀點(diǎn)來探求變量的最值。對(duì)于二元或多元函數(shù)的最值問題，往往是通過變量替換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來解決，這是一種基本的數(shù)學(xué)思想方法。解決函數(shù)的最值問題，我們已經(jīng)有比較深的函數(shù)理論，函數(shù)性質(zhì)，如單調(diào)性的運(yùn)用、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用等都可以求函數(shù)的最值。

評(píng)注：三角換元思想也是高中數(shù)學(xué)的基本思想方法之一，通過三角換元就將問題轉(zhuǎn)化為三角恒等式變形后來解決，而三角恒等變形卻有著一系列的三角公式，所以運(yùn)用三角換元解決某些問題往往比較方便。

評(píng)注：對(duì)稱換元將減元結(jié)果進(jìn)行簡化了，從而更容易求最值。

這三種方法，在本質(zhì)上都一樣，都是通過函數(shù)觀點(diǎn)來求最值，只是換元方式的不同而已，也就導(dǎo)致了化簡運(yùn)算量大小不同，教師通過引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考、運(yùn)用，提高了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，也增強(qiáng)了學(xué)生思維能力的提高。

評(píng)注：運(yùn)用基本不等式可以解決一些含有兩個(gè)未知量的最值問題，但要注意等號(hào)成立的條件是否同時(shí)滿足。

解法五：（解析幾何思想）設(shè)d=，則d為動(dòng)點(diǎn)C（x，y）到原點(diǎn)（0，0）的距離，于是只需求線段上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大和最小距離就可。

當(dāng)點(diǎn)C與A或B重合時(shí)，dmax=1，則（x2 y2）max=1

當(dāng)OC⊥AB時(shí)dmin=2(2 )，則（x2 y2）min=2(1)

評(píng)注：用幾何的觀點(diǎn)研究代數(shù)問題，可以加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的養(yǎng)成，使學(xué)生在數(shù)和形的理解把握好一個(gè)聯(lián)系的尺度，能夠由數(shù)想到形的意義，由形想到數(shù)的結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到快速解決這類問題的目的。事實(shí)上，有許多解析幾何最值問題和代數(shù)中許多最值問題都可以用類似的方法解決，這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，有著很積極的作用。

三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角函數(shù)式和恒等變形及最值問題一直是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，幾乎年年都考。而且試題難度系數(shù)控制在“易”到中等”程度。在高考中取得此部分的分值，乃是考生“兵家必爭之地”。其中用降冪公式、輔助角公式化簡為后求最值的問題是考得比較頻繁的一類問題。而學(xué)生普遍對(duì)三角公式的變形和應(yīng)用缺乏靈活性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中利用一題多變來練習(xí)變式技巧，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)是一個(gè)省時(shí)省力的好方法。

這幾個(gè)例題都是由一個(gè)簡單的例子而來的，通過對(duì)這幾個(gè)例子的解答和探究，可以更好地培養(yǎng)我們的三角函數(shù)的知識(shí)，同時(shí)也能加深我們對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的理解和應(yīng)用．上面幾個(gè)例子都是由簡到難演變的，同時(shí)這幾個(gè)例題都是有解的，使得對(duì)這幾個(gè)例子的探究更有意義．同時(shí)在這幾個(gè)例子的解答過程中也可能進(jìn)行一題多解，有效地培養(yǎng)我們的數(shù)學(xué)思維、邏輯思維以及創(chuàng)新思維。

三、班級(jí)推廣

（1）通過開展課題研究，加強(qiáng)教師的理論學(xué)習(xí)，轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，促進(jìn)數(shù)字媒體與數(shù)學(xué)的教學(xué)整合，提高教師的現(xiàn)代化多媒體的教育技能。在實(shí)踐中探索，在反思中提高。完善教研制度：通過“一周一課一研”的活動(dòng)使每位教師都能夠自覺進(jìn)行教學(xué)研究。通過典型案例研究，獲得“一題多解”與“一題多變”的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，把一題多解與一題多變作為重要的教育理念始終貫徹于教師的教學(xué)行為之中。

（2）“以學(xué)生中心，以教例為載體，順學(xué)而導(dǎo)”建構(gòu)課堂教學(xué)中“一題多解”與“一題多變”的教學(xué)模式。井千方百計(jì)破解“一題多解”與“一題多變”的教學(xué)難題。

（3）新課中，實(shí)施一題多變，以簡單題入手由淺入深，使大部分學(xué)生對(duì)當(dāng)堂課內(nèi)容產(chǎn)生興趣。在習(xí)題課中，把較難題改成多變題目，讓學(xué)生找到突破口，對(duì)難題也產(chǎn)生興趣。學(xué)生自己能夠?qū)㈩}目中的問題或某一條件改變，對(duì)知識(shí)進(jìn)行重組，自己將題目中的問題或某一條件進(jìn)行改變，對(duì)已學(xué)知識(shí)進(jìn)行重組，探索出新知識(shí)，解決新問題。不就題論題,能多思多變。

在日常教學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)“一題多解”與“一題多變”的解題方法。培養(yǎng)學(xué)生會(huì)變題學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣，從面達(dá)到提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)變能力。

四、一題多解與一題多變?cè)诟咧袛?shù)學(xué)中的應(yīng)用和創(chuàng)新之處

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,很多老師在課后給學(xué)生布置除書上練習(xí)題和習(xí)題以外的大量習(xí)題.使得本就基礎(chǔ)薄弱的雪中學(xué)生感到負(fù)擔(dān)很重.很多學(xué)生根本無法完成,便出現(xiàn)了抄作業(yè)的現(xiàn)象.對(duì)數(shù)學(xué)的厭惡感便油然而生。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，選擇教材中的典型題目應(yīng)用 一題多解“與一題多變”法實(shí)施課堂教學(xué)，可為學(xué)生創(chuàng)造出輕松、愉悅的學(xué)習(xí)環(huán)境，使學(xué)生在愉悅的氛圍中進(jìn)行問題的分析和知識(shí)的探索，對(duì)于從未見過的新題也會(huì)迎刃而解.另外,我們?cè)诎炎兪筋}布置給學(xué)生的同時(shí),便可要求學(xué)生運(yùn)用一題多解,甚至可以要求學(xué)生自己對(duì)題型進(jìn)行變式.這樣的作業(yè)方式不只可以達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固的目的,還可以提高學(xué)生的探究能力及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.讓學(xué)生在解題過程中體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的魅力，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣得到有效提高，從而提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)成績。

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運(yùn)用“一題多解”與“一題多變”的解題方法，可以有效解決學(xué)生在解題中遇到的諸多困難，大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，幫助學(xué)生深入掌握基本知識(shí)。使學(xué)生的發(fā)散思維能力和邏輯思維能力進(jìn)一步得到培養(yǎng)。

創(chuàng)新之處：“一題多解”與“一題多變”教學(xué)將充分利用多媒體課件將例題的特殊問題通過一題多變推廣到普遍性的問題，讓學(xué)生在一題多變的訓(xùn)練中悟出解答數(shù)學(xué)問題的方法和規(guī)律，又能發(fā)展學(xué)生的思維能力，更讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極的良好情感，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人目標(biāo)。

五、“一題多解、一題多變”的教學(xué)反思與不足之處

長期以來，研究者對(duì)一題多變的教學(xué)進(jìn)行了許多有益的探索，積累了非富的經(jīng)驗(yàn)，但我認(rèn)為研究還存在以下一些不足之處：①理論探討多，實(shí)踐探討少：②研究脫離了學(xué)生，缺少師生間的互動(dòng)。針對(duì)這些情況，我們將進(jìn)行深入的分析，結(jié)合現(xiàn)在理論界有關(guān)一題多變策略的成果，結(jié)合課堂實(shí)踐和學(xué)生實(shí)際情況制定針對(duì)性較強(qiáng)的切實(shí)可行的學(xué)案。